ក្នុងគណិតវិទ្យាម៉ាទ្រីស(Matrix)គឺជាការរៀបលេខ,សញ្ញាឬកន្សោមក្នុងជួរដេកជួរឈរដែលលេខទាំងនោះហៅថាធាតុ។ឧបមាថាយើងមានប្រព័ន្ធសមីការដូចខាងក្រោម៖
\begin{cases}2x+4y-4z+3t=0\\4x+5y+2z+4t=0\\8x+2y+4z+7t=0\end{cases}
ឥឡូវយើងនឹងសរសេរមេគុណនៃ \(x,y,z,t\) ពីសមីការខាងលើក្នុងឃ្នាបដូចខាងក្រោម៖
\(A =\begin{bmatrix}2&4&-4&3\\4&5&2&4\\8&2&4&7\end{bmatrix}\)
លេខដែលសរសេរក្នុងឃ្នាបដូចច្នេះហៅថាម៉ាទ្រីស។វាមាន 3 ជួរដេកនិង 4 ជួរឈរ នោះម៉ាទ្រីសនេះផ្ទុក 3x4=12ធាតុនៅខាងក្នុង គេហៅម៉ាទ្រីសនេះថាម៉ាទ្រីស $m$x$n$។ គេតាងធាតុដែលស្ថិតនៅជួរដេកទី $i$ និងជួរឈរទី $j$ ដោយ $a_{ij}$។
1.1 ប្រភេទម៉ាទ្រីសផ្សេងៗ៖
-ម៉ាទ្រីសជួរដេកជាម៉ាទ្រីសដែលមានតែជួរដេក។ឧទាហរណ៍ៈ
\begin{bmatrix}1&2&3&8&6&-2\end{bmatrix}
-ម៉ាទ្រីសជួរឈរជាម៉ាទ្រីសដែលមានតែជួរឈរ។ឧទាហរណ៍ៈ
\begin{Bmatrix}5\\3\\6\\0\end{Bmatrix}
-ម៉ាទ្រីសសូន្យ(Null Matrix) ជាម៉ាទ្រីសដេលមានធាតុទាំងអស់មានតម្លៃស្មើសូន្យ។ឧទាហរណ៍ៈ
\begin{bmatrix}0&0&0&0&0\\0&0&0&0&0\\0&0&0&0&0\end{bmatrix}
-ម៉ាទ្រីសការេ(Square Matrix) ជាម៉ាទ្រីសដែលមានចំនួនជួរដេកស្មើចំនួនជួរឈរ។ឧទាហរណ៍ៈ
\begin{bmatrix}4&6&3\\8&8&5\\9&0&2\end{bmatrix}
-ម៉ាទ្រីសអង្កត់ទ្រូង(Diagonal_Matrix)_ជាម៉ាទ្រីសការេ_$n$x$n$_ដែលគ្រប់ធាតុខុសពីអង្កត់ទ្រូងស្មើសូន្យ ហើយមិនមែនជាម៉ាទ្រីសសូន្យ។(អង្កត់ទ្រូងជាសំណុំធាតុដែលបញ្ឆិតចាប់ពីចុងខាងលើឆ្វេងទៅធាតុខាងក្រោមស្តាំ ឬជាសំនំុធាតុ $a_{ii}$ ដែល $i={1,2,...,n}$។ឧទាហរណ៍ៈ
\begin{bmatrix}7&0&0&0&0\\0&6&0&0&0\\0&0&7&0&0\\0&0&0&2&0\\0&0&0&0&9\end{bmatrix}
-ម៉ាទ្រីសឯកតា(Identity_Matrix)_ជាម៉ាទ្រីសអង្កត់ទ្រូងដែលធាតុអង្កត់ទ្រូងនីមួយៗស្មើ1។គេតាមម៉ាទ្រីសឯកតាដោយ$I$។ឧទាហរណ៍ៈ
\(I={\begin{bmatrix}1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{bmatrix}}_{4\times 4}\)
-ម៉ាទ្រីសត្រលប់(Transpose of a matrix) បានពីការត្រឡប់ជួរដេក ទៅជាជួរឈរ។ គេតាងម៉ាទ្រីសត្រឡប់នៃ $A$ ដោយ $A^{t}$ ឬ $A'$។ សូមពិនិត្យឧទាហរណ៍ខាងក្រោម៖
\(A=\begin{bmatrix} 5&2&-1&1\\4&3&5&5\\0&4&3&2\\1&7&2&4\end{bmatrix} , A^{t}=\begin{bmatrix}5&4&0&1\\2&3&4&7\\-1&5&3&2\\1&5&2&4\end{bmatrix}\)
អាចនិយាយថាគ្រប់ $i,j$ ប្តូរ $a_{ij}\longrightarrow a_{ji}$
-ម៉ាទ្រីសសីុមេទ្រី(Symetry_Matrix)ជាម៉ាទ្រីសការេដែលធាតុឆ្លុះគ្នាធៀបនឹងអង្គត់ទ្រូង មានតម្លៃស្មើគ្នាមានន័យថាគ្រប់តម្លៃ $i$ និង $j$ នោះ $a_{ij}=a_{ji}$ ឬ $A^{t}=A$។ឧទាហរណ៍៖
\begin{bmatrix}1&2&3&5\\2&4&0&3\\3&0&6&-9\\5&3&-9&7\end{bmatrix}
-ម៉ាទ្រីសសីុមេទ្រីផ្ទុយ(Skew_Symmetry_Matrix)ជាម៉ាទ្រីសការេដែលធាតុនីមួយៗឆ្លុះគ្នាធៀបនឹងអង្កត់ទ្រួងមានតម្លៃស្មើគ្នាតែសញ្ញាផ្ទុយគ្នា ហើយធាតុអង្កត់ទ្រូងសុទ្ធតែស្មើសូន្យ មានន័យថា $a_{ij}=-a_{ji}$ គ្រប់ $i\neq j$ និង $a_{ij}=0$ បើ $i=j$។គេសរសេរ $A^{t}=-A$។ឧទាហរណ៍៖
\begin{bmatrix}0&1&2&-4\\-1&0&-5&8\\-2&5&0&3\\4&8&3&0\end{bmatrix}
-ម៉ាទ្រីសត្រីកោណលើ(Upper_Triangular_Matrix)ជាម៉ាទ្រីសការេដែលធាតុនៅខាងក្រោមអង្កត់ទ្រូងសុទ្ធតែស្មើសូន្យ។ឧទាហរណ៍៖
\begin{bmatrix}2&4&7&3\\0&3&1&2\\0&0&7&3\\0&0&0&1\end{bmatrix}
-ម៉ាទ្រីសត្រីកោណក្រោម(Lower_Triangular_Matrix)ជាម៉ាទ្រីសដែលធាតុដែលនៅលើអង្កត់ទ្រួងសុទ្ធតែស្មើសូន្យ។ឧទាហរណ៍៖
\begin{bmatrix}2&0&0&0\\4&3&0&0\\1&4&7&0\\4&7&3&1\end{bmatrix}
-ម៉ាទ្រីសកែង(Orthogonal Matrix)ជាម៉ាទ្រីសដែលផលគុណរបស់វានឹងម៉ាទ្រីសត្រឡប់របស់វាស្មើម៉ាទ្រីសឯកតាឬ $A.A{t}=I$។យើងនឹងរៀនពីការគុណម៉ាទ្រីសបន្តិចទៀតនេះ។
-ម៉ាទ្រីសឆ្លាស់(Conjugate_of_a_Matrix)នៃម៉ាទ្រីស $A$ជាម៉ាទ្រីសដែលគ្រប់ធាតុរបស់វាជាចំនួនកំុផ្លិចឆ្លាស់នៃធាតុត្រូវគ្នារបស់ម៉ាទ្រីស $A$។គេតាងម៉ាទ្រីសឆ្លាស់ដោយ $\overline A$។
តាង $A=\begin{bmatrix}1+3i&-3i&6\\7+2i&i&3-2i\end{bmatrix}$ នោះម៉ទ្រីសឆ្លាស់នៃ $A$គឺ $\overline A=\begin{bmatrix}1-3i&3i&6\\7-2i&-i&3+2i\end{bmatrix}$
នៅមានម៉ាទ្រីសផ្សេងៗទៀត សូមចុចទីនេះ ដើម្បីមើលលក្ខណៈម៉ាទ្រីសផ្សេងៗទៀត
1.2ផលបូកម៉ាទ្រីស៖
ម៉ាទ្រីសអាចបូកឬដកគ្នាបានលុះត្រាតែមានទំហំប៉ុនគ្នា(ម៉ាទ្រីសទាំងពីរមានចំនួនជួរដេកនិងចំនួនជួរឈរស្មើគ្នា)។ បើវាបូកបានម៉ាទ្រីសលទ្ធផលមានទំហំដដែល ហើយធាតុនៃលទ្ធផងស្មើនឺងធាតុម៉ាទ្រីសត្រូវគ្នាដើមបូកចូលគ្នា។ឧទាហរណ៍៖
បើ $A=\begin{bmatrix}3&0&0\\2&4&2\\1&-3&7\end{bmatrix} ,$ និង $B=\begin{bmatrix}3&0&2\\4&5&7\\7&-6&1\end{bmatrix}$
នោះ $A+B=\begin{bmatrix}3+3&0+0&0+2\\2+4&4+5&2+7\\1+7&-3-6&7+1\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}6&0&2\\6&9&9\\8&-12&8\end{bmatrix}$
ជាទូទៅ ផលបូកម៉ាទ្រីសមានលក្ខណៈត្រឡប់និងលក្ខណៈផ្តំុគឺ $A+B=B+A$ និង $A+(B+C)=(A+B)+C$
This page is being developed
\begin{cases}2x+4y-4z+3t=0\\4x+5y+2z+4t=0\\8x+2y+4z+7t=0\end{cases}
ឥឡូវយើងនឹងសរសេរមេគុណនៃ \(x,y,z,t\) ពីសមីការខាងលើក្នុងឃ្នាបដូចខាងក្រោម៖
\(A =\begin{bmatrix}2&4&-4&3\\4&5&2&4\\8&2&4&7\end{bmatrix}\)
លេខដែលសរសេរក្នុងឃ្នាបដូចច្នេះហៅថាម៉ាទ្រីស។វាមាន 3 ជួរដេកនិង 4 ជួរឈរ នោះម៉ាទ្រីសនេះផ្ទុក 3x4=12ធាតុនៅខាងក្នុង គេហៅម៉ាទ្រីសនេះថាម៉ាទ្រីស $m$x$n$។ គេតាងធាតុដែលស្ថិតនៅជួរដេកទី $i$ និងជួរឈរទី $j$ ដោយ $a_{ij}$។
1.1 ប្រភេទម៉ាទ្រីសផ្សេងៗ៖
-ម៉ាទ្រីសជួរដេកជាម៉ាទ្រីសដែលមានតែជួរដេក។ឧទាហរណ៍ៈ
\begin{bmatrix}1&2&3&8&6&-2\end{bmatrix}
-ម៉ាទ្រីសជួរឈរជាម៉ាទ្រីសដែលមានតែជួរឈរ។ឧទាហរណ៍ៈ
\begin{Bmatrix}5\\3\\6\\0\end{Bmatrix}
-ម៉ាទ្រីសសូន្យ(Null Matrix) ជាម៉ាទ្រីសដេលមានធាតុទាំងអស់មានតម្លៃស្មើសូន្យ។ឧទាហរណ៍ៈ
\begin{bmatrix}0&0&0&0&0\\0&0&0&0&0\\0&0&0&0&0\end{bmatrix}
-ម៉ាទ្រីសការេ(Square Matrix) ជាម៉ាទ្រីសដែលមានចំនួនជួរដេកស្មើចំនួនជួរឈរ។ឧទាហរណ៍ៈ
\begin{bmatrix}4&6&3\\8&8&5\\9&0&2\end{bmatrix}
-ម៉ាទ្រីសអង្កត់ទ្រូង(Diagonal_Matrix)_ជាម៉ាទ្រីសការេ_$n$x$n$_ដែលគ្រប់ធាតុខុសពីអង្កត់ទ្រូងស្មើសូន្យ ហើយមិនមែនជាម៉ាទ្រីសសូន្យ។(អង្កត់ទ្រូងជាសំណុំធាតុដែលបញ្ឆិតចាប់ពីចុងខាងលើឆ្វេងទៅធាតុខាងក្រោមស្តាំ ឬជាសំនំុធាតុ $a_{ii}$ ដែល $i={1,2,...,n}$។ឧទាហរណ៍ៈ
\begin{bmatrix}7&0&0&0&0\\0&6&0&0&0\\0&0&7&0&0\\0&0&0&2&0\\0&0&0&0&9\end{bmatrix}
-ម៉ាទ្រីសឯកតា(Identity_Matrix)_ជាម៉ាទ្រីសអង្កត់ទ្រូងដែលធាតុអង្កត់ទ្រូងនីមួយៗស្មើ1។គេតាមម៉ាទ្រីសឯកតាដោយ$I$។ឧទាហរណ៍ៈ
\(I={\begin{bmatrix}1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{bmatrix}}_{4\times 4}\)
-ម៉ាទ្រីសត្រលប់(Transpose of a matrix) បានពីការត្រឡប់ជួរដេក ទៅជាជួរឈរ។ គេតាងម៉ាទ្រីសត្រឡប់នៃ $A$ ដោយ $A^{t}$ ឬ $A'$។ សូមពិនិត្យឧទាហរណ៍ខាងក្រោម៖
\(A=\begin{bmatrix} 5&2&-1&1\\4&3&5&5\\0&4&3&2\\1&7&2&4\end{bmatrix} , A^{t}=\begin{bmatrix}5&4&0&1\\2&3&4&7\\-1&5&3&2\\1&5&2&4\end{bmatrix}\)
អាចនិយាយថាគ្រប់ $i,j$ ប្តូរ $a_{ij}\longrightarrow a_{ji}$
-ម៉ាទ្រីសសីុមេទ្រី(Symetry_Matrix)ជាម៉ាទ្រីសការេដែលធាតុឆ្លុះគ្នាធៀបនឹងអង្គត់ទ្រូង មានតម្លៃស្មើគ្នាមានន័យថាគ្រប់តម្លៃ $i$ និង $j$ នោះ $a_{ij}=a_{ji}$ ឬ $A^{t}=A$។ឧទាហរណ៍៖
\begin{bmatrix}1&2&3&5\\2&4&0&3\\3&0&6&-9\\5&3&-9&7\end{bmatrix}
-ម៉ាទ្រីសសីុមេទ្រីផ្ទុយ(Skew_Symmetry_Matrix)ជាម៉ាទ្រីសការេដែលធាតុនីមួយៗឆ្លុះគ្នាធៀបនឹងអង្កត់ទ្រួងមានតម្លៃស្មើគ្នាតែសញ្ញាផ្ទុយគ្នា ហើយធាតុអង្កត់ទ្រូងសុទ្ធតែស្មើសូន្យ មានន័យថា $a_{ij}=-a_{ji}$ គ្រប់ $i\neq j$ និង $a_{ij}=0$ បើ $i=j$។គេសរសេរ $A^{t}=-A$។ឧទាហរណ៍៖
\begin{bmatrix}0&1&2&-4\\-1&0&-5&8\\-2&5&0&3\\4&8&3&0\end{bmatrix}
-ម៉ាទ្រីសត្រីកោណលើ(Upper_Triangular_Matrix)ជាម៉ាទ្រីសការេដែលធាតុនៅខាងក្រោមអង្កត់ទ្រូងសុទ្ធតែស្មើសូន្យ។ឧទាហរណ៍៖
\begin{bmatrix}2&4&7&3\\0&3&1&2\\0&0&7&3\\0&0&0&1\end{bmatrix}
-ម៉ាទ្រីសត្រីកោណក្រោម(Lower_Triangular_Matrix)ជាម៉ាទ្រីសដែលធាតុដែលនៅលើអង្កត់ទ្រួងសុទ្ធតែស្មើសូន្យ។ឧទាហរណ៍៖
\begin{bmatrix}2&0&0&0\\4&3&0&0\\1&4&7&0\\4&7&3&1\end{bmatrix}
-ម៉ាទ្រីសកែង(Orthogonal Matrix)ជាម៉ាទ្រីសដែលផលគុណរបស់វានឹងម៉ាទ្រីសត្រឡប់របស់វាស្មើម៉ាទ្រីសឯកតាឬ $A.A{t}=I$។យើងនឹងរៀនពីការគុណម៉ាទ្រីសបន្តិចទៀតនេះ។
-ម៉ាទ្រីសឆ្លាស់(Conjugate_of_a_Matrix)នៃម៉ាទ្រីស $A$ជាម៉ាទ្រីសដែលគ្រប់ធាតុរបស់វាជាចំនួនកំុផ្លិចឆ្លាស់នៃធាតុត្រូវគ្នារបស់ម៉ាទ្រីស $A$។គេតាងម៉ាទ្រីសឆ្លាស់ដោយ $\overline A$។
តាង $A=\begin{bmatrix}1+3i&-3i&6\\7+2i&i&3-2i\end{bmatrix}$ នោះម៉ទ្រីសឆ្លាស់នៃ $A$គឺ $\overline A=\begin{bmatrix}1-3i&3i&6\\7-2i&-i&3+2i\end{bmatrix}$
នៅមានម៉ាទ្រីសផ្សេងៗទៀត សូមចុចទីនេះ ដើម្បីមើលលក្ខណៈម៉ាទ្រីសផ្សេងៗទៀត
1.2ផលបូកម៉ាទ្រីស៖
ម៉ាទ្រីសអាចបូកឬដកគ្នាបានលុះត្រាតែមានទំហំប៉ុនគ្នា(ម៉ាទ្រីសទាំងពីរមានចំនួនជួរដេកនិងចំនួនជួរឈរស្មើគ្នា)។ បើវាបូកបានម៉ាទ្រីសលទ្ធផលមានទំហំដដែល ហើយធាតុនៃលទ្ធផងស្មើនឺងធាតុម៉ាទ្រីសត្រូវគ្នាដើមបូកចូលគ្នា។ឧទាហរណ៍៖
បើ $A=\begin{bmatrix}3&0&0\\2&4&2\\1&-3&7\end{bmatrix} ,$ និង $B=\begin{bmatrix}3&0&2\\4&5&7\\7&-6&1\end{bmatrix}$
នោះ $A+B=\begin{bmatrix}3+3&0+0&0+2\\2+4&4+5&2+7\\1+7&-3-6&7+1\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}6&0&2\\6&9&9\\8&-12&8\end{bmatrix}$
ជាទូទៅ ផលបូកម៉ាទ្រីសមានលក្ខណៈត្រឡប់និងលក្ខណៈផ្តំុគឺ $A+B=B+A$ និង $A+(B+C)=(A+B)+C$
This page is being developed
